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高英杰等-JCP:采用空間濾波法突破顯式有限差分的穩定性條件限制
2019-12-11 | 作者: | 【 】【打印】【關閉

  顯格式有限差分被廣泛應用于地震波場數值模擬領域。然而,該方法的最大時間步長tmax嚴格受到Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)穩定性條件限制。當時間步長超過tmax時,波場迭代不再穩定;此外,當時間步長接近tmax時,數值頻散噪音逐漸加重,因此,在地球物理數值模擬領域一直采用遠小于tmax的步長以獲得更高的模擬精度。但是更小時間步長同時也意味著迭代次數將大幅度增加,計算量在長時程模擬時難以承受。采用大于tmax所引發的不穩定現象本質上源于在原本為零的高波數區域出現了非零波場,這些波場的能量迅速放大直到發生肉眼可見的不穩定現象。 

  中科院地質與地球物理所地球與行星物理院重點實驗室高英杰博士后與張金海研究員、合作導師姚振興院士通過空間濾波的方法壓制了這些高波數波場,使得可以采用比tmax大得多的時間步長進行穩定的數值模擬。此外,他們還采用逆時離散變換方法有效修正大步長迭代所固有的數值頻散噪音,從而實現了穩定而且準確的超長時間步長(即>△tmax)數值模擬,大幅度提升了計算效率。該研究是地震學領域繼特征值擾動法(高英杰等- Geophysics突破顯式有限差分的穩定性條件限制)之后突破穩定性條件限制的新嘗試,有望在全球尺度的多輪回波場傳播、地震干涉數值模擬以及深層油氣地震成像等領域獲得應用。 

  當時間步長超過CFL穩定性條件的限制時,根據CFL穩定性條件曲線(圖1),我們可以得到相應的角頻率。不穩定噪聲就產生在大于的波數區域,而波數值小于的有效波場分量仍然可以進行穩定迭代。隨著時間步長的不斷加大,逐漸減小。單次時間步長的波場迭代完成之后,通過采用低通濾波的思路,將大于的不穩定波場噪聲濾除,就可以保證波場模擬的穩定迭代(圖2。 

  進一步采用逆時間頻散變換法來去除由于大步長模擬造成的時間數值頻散(圖3a),獲得了精確的模擬結果(圖3b)。該方法所能采用的最大時間步長是CFL穩定性條件的數倍,在提高計算效率的同時,保證了數值模擬的精度。 

1 二階時間有限差分(PS (2nd-order))和四階時間有限差分(PS (4th-order)) CFL穩定性條件所對應的曲線,其中是低通濾波器對應的角頻率 

2  基于二階時間有限差分和四階時間有限差分,采用時間步長Δt = 3 ms進行模擬所得的波場快照和相應的波數域頻譜。(a1)(a3)是從300 ms起停止空間濾波,經過數次迭代所得到的333ms波場快照。(a2)(a4)是分別對(a1)(a3)采用空間濾波之后得到的快照。(b1)-(b4)(a1)-(a4)相應波數域頻譜,(b1)(b3)中的藍色圓弧分別是二階時間有限差分和四階時間有限差分對應低通濾波器的角頻率。(c)(d)分別是(a)(b)中沿紅色虛線的波形剖面。本實驗中,二階時間有限差分和四階時間有限差分CFL穩定性條件所允許的最大時間步長分別為1.125 ms1.949 ms 

3 利用不同時間步長獲得的單道波形記錄?;诙A時間有限差分和四階時間有限差分依次測試了時間步長Δt = 3, 5, 7, 9, 11 ms。(a)是采用過空間濾波算法之后得到的模擬波形;(b)是對(a)采用了逆時離散時間變換后的結果。本實驗中,二階時間有限差分和四階時間有限差分CFL穩定性條件所允許的最大時間步長分別為1.125 ms 1.949 ms    

  研究成果發表于Journal of Computational Physics。(Gao Y J, Zhang J H*, Yao Z X. Extending the stability limit of explicit scheme with spatial filtering for solving wave equations[J]. Journal of Computational Physics, 2019, 397: 108853. DOI: 10.1016/j.jcp.2019.07.051)(原文鏈接) 

 
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